Aktualności ze świata miłośników twórczości Tolkiena

Jak liczą Elfy? O wyższości tuzina i grosa.

„Jeśli tylko to było to możliwe, Eldarowie woleli liczyć w szóstkach i dwunastkach”
(WP III Dodatek D, str. 349, Amber)

 

Tolkien twierdził, że zamiłowanie Elfów do szóstek (‚pół tuzina’), dwunastek (‚tuzin’), i do liczby 144 (‚gros’) miało przyczyny obrzędowe, a nie praktyczne (z Dodatku D wiemy, że tydzień Eldarów, enquië, również liczył 6 dni – miało to znaczenie dla całego kalendarza Elfów, zwanego Kalendarzem Imladris, w którym wielokrotność liczby 6 i 12 była zasadą obliczeń – zapraszamy do lektury Dodatku D). W innym miejscu Tolkien pisze, że «już w języku wspólnoeldarińskim za szczególnie ważne uznawano wielokrotności liczby trzy – szczególnie sześć, dwanaście i osiemnaście. Miały one znaczenie w arytmetyce. Obok systemu dziesiętnego wymyślono kompletny system dwunastkowy, przydatny w obliczeniach ze specjalnymi słowami na określenie 12 (tuzina), 18 i 144 (gros)» [Vinyar Tengwar nr 42, str. 24]. I rzeczywiście wybór systemu dwunastkowego ma bardzo wiele zalet praktycznych w arytmetyce. W książce matematyka Alexa Bellosa pt. Przygody Alexa w Krainie Liczb (Albatros, Inowrocław 2013) możemy poznać wyższość tego systemu nad naszym powszednim systemem dziesiątkowym. Jeżeli Elfowie byli matematykami, nie mogli wybrać lepszego systemu obliczeniowego!

System dwunastkowy ma 12 cyfr: od 0 do 9 oraz dodatkowe oznaczające 10 i 11. Przyjęty w źródłach tolkienowskich zapis cyfr „pozadziesiętnych” to A i B. Zatem do 12 liczy się tak:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10

Nowym pojedynczym cyfrom nadano w naszym świecie nowe nazwy. I tak dla A mamy nazwę – dek, a dla B – el. Poza tym na dwunastkowe 10 (odpowiednik dziesiętnego 12) mówi się do (od dozen ‚tuzin’). Powodem, dla którego dwunastkę można uznać za lepszą od dziesiątki, jest jej podzielność: 12 da się podzielić przez 2, 3, 4 oraz 6, natomiast 10 tylko przez 2 i 5. Zwolennicy systemu dwunastkowego w naszym świecie twierdzą, że na co dzień zdecydowanie łatwiej byłoby nam dzielić przez 3 i 4 niż przez 5. Jeśli masz 12 jabłek, możesz podzielić je na 2 siatki po 6, 3 siatki po 4, 4 siatki po 3 lub 6 siatek po 2 jabłka. Jest to o wiele wygodniejsze niż 10, które da się podzielić równo jedynie na 2 siatki po 5 jabłek lub 5 siatek po 2 jabłka.

Podzielność ma też znaczenie w tabliczce mnożenia. W każdym systemie liczbowym najłatwiej zapamiętać mnożenie liczb, przez które dzieli się podstawa danego systemu. Dlatego właśnie w systemie dziesiętnym tak łatwo recytuje się mnożenie przez 2 i 5 – ich iloczyny to liczby parzyste oraz liczby zakończone na 5. Jak łatwo nauczyć się dwunastkowej tabliczki mnożenia udowadnia w swojej książce Alex Bellos. Na stronie 64 widzimy tabelkę z mnożeniem 2, 3, 4 i 6. Regularności, powtarzanie się łatwego do zapamiętania wzoru to sprawy rzucające się od razu w oczy. Największa zaleta systemu dwunastkowego to jednak jego praktyczność w radzeniu sobie z ułamkami. Na przykład ⅓ z 10 to 3,33… z trójkami ciągnącymi się w nieskończoność. A ¼ z 10 to 2,5, które wymaga użycia przecinka dziesiętnego. W systemie dwunastkowym ⅓ z 10 (= dziesiętne 12) to 4, a ¼ to 3. Yé! W ujęciu procentowym ⅓ staje się 40%, a ¼ – 30%. Jeżeli przyjrzymy się dzieleniu 100 (= dziesiętne 144) przez liczby od 1 do 12, widać, że w systemie dwunastkowym wychodzą zwięźlejsze liczby.

Tolkien opisując elementy kultury swoich Eldarów miał ucho otwarte na ciekawe propozycje swoich czasów (pisaliśmy o tym też przy okazji omawiania związków Rachuby Shire’u z ideą Kalendarza Światowego z 1930; patrz artykuł „Kalendarz Shire’u to Kalendarz Światowy?”). W 1934 r. w Stanach Zjednoczonych powstało Duodecimal Society of America (dziś The Dozenal Society of America, czyli Amerykańskie Towarzystwo Tuzinowe). Bliźniacza organizacja w Wielkiej Brytanii powstała w 1959 – The Dozenal Society of Great Britain. Tolkienowscy Eldarowie to potencjalni członkowie takich organizacji…

Wiemy, że Eldarowie posługują się w świecie Ardy przede wszystkim pismem tengwar (wcześniej używali sarati, a w Doriath wymyślili runy cirth, ale w III Erze Śródziemia pismem, które było najczęśniej z nimi kojarzone było pismo tengwar). Tengwar posiada też swoje cyfry – także dla systemu „tuzinowego”. Krótki artykuł na temat cyfr fëanoryjskich znajdziecie tutaj: „Tengwar Numerals” (w: „The Writing Systems of Middle-earth” Davida Doughana i  Juliana Bradfielda; w piśmie Quettar Special Publication Nr 1, 1987). Wyczerpujący artykuł na temat nazw liczebników quenejskich znajdziecie tutaj: „Eldarin Numerals” Thorstena Renka. Poniżej przedstawiamy cyfry tengwarowe, które w latach 80. wysłał autorom czasopisma Quettar sam Christopher Tolkien. Muszą one pochodzić z jakiegoś późnego źródła (które jeszcze nie zostało opublikowane ani w Vinyar Tengwar, ani w Parma Eldalamberon). Zwróćmy uwagę na to, że Eldarowie wymyślili abstrakcyjną ideę ‚0’ zera, która w naszym świecie dotarła na Zachód dopiero w Średniowieczu – z Indii za pośrednictwem arabskim. Istnienie zera zrewolucjonizowała naszą rachubę. Także Eldarowie cieszą się tym wynalazkiem. Struktura liczebników wskazuje, że Elfowie podobnie jak Ludzie najłatwiej zapamiętują zbiory trzech znaków – system 1-12 dzieli się na serie 1-3, 4-6, 7-9, A-10 (patrz: Alex Bellos, Przygody Alexa w Krainie Liczb, str. 70).

Wyżej przedstawiłem tabelkę mojego autorstwa ukazującą cyfry tengwarowe od 1 do 144 (czyli w systemie dwunastkowym 1-100). Jak nazwać te liczby w języku quenya? Tolkien podał nam wskazówki tylko dla cyfr 1-12. Reszta to rekonstrukcja.

Moja rekonstrukcja liczebników quenejskich w systemie dwunastkowym jest następująca:

1 –min; 2 – atta, 3 – neldë; 4 – canta, 5 lemen, 6 – enquë,
7 – otso, 8 – toldo, 9 – nertë, A – quean, B – minquë, 10 – *rasta

Dalej mamy wielką niewiadomą, a w końcu 144 – *hosta

Może ktoś ma pomysł, jak zapisać cały system dwunastkowy w quenya?

Ryszard „Galadhorn” Derdziński

Kategorie wpisu: Eseje tolkienowskie, Lingwistyka

5 Komentarzy do wpisu "Jak liczą Elfy? O wyższości tuzina i grosa."

kemmuel, dnia 29.07.2013 o godzinie 23:15

Sam jestem od lat wielkim fanem systemu dwunastkowego. Wspomniana w artykule praktyczność wynikająca z wielości dzielników przy stosunkowo niewielkiej do zapamiętania liczbie cyfr to ważny argument za. Ale co odnosi się do pierwszej zamieszczonej grafiki, łatwo liczy się do dwunastu na palcach, tak, łatwiej nawet niż do dziesięciu: palce od II do V mają po trzy paliczki – w sumie 12, a kciuk pełni funkcję „wskazówki” (żeby policzyć do 10 trzeba użyć obu rąk, a do 12 wystarczy jedna i można to zrobić dyskretnie przesuwając kciukiem po pozostałych palcach). Słowem: tuziny wymiatają 😉

Heru, dnia 01.08.2013 o godzinie 16:40

2 oraz 11 są identyczne 😛

Galadhorn, dnia 01.08.2013 o godzinie 16:41

Tak się tylko wydaje. One są podobne :-)

Pozdrowienia!

Maicasaila, dnia 02.10.2013 o godzinie 21:40

A mógłby ktoś opisać ów system jak się dokładnie liczy? Bez ozdobników, czysta teoria? Bo z tego linku: http://www.acondia.com/fonts/tengwar/info/numbers.htm nie rozumiem jak zamienono liczbę 1995 ją na to, na co zamieniono :( .
Pozdrawiam 😀

Piotr, dnia 18.10.2018 o godzinie 15:39

Bardziej ciekawe, jak to po polsku będzie, np.:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 d e 10
jeden dwa trzy cztery pięć sześć siedem osiem dziewięć dek el tuzin

11 12 13 14 15 16 17 18 19 1d 1e 20
jedenta dwanta trzynta czterynta piętna sześna siedemta osiemta dekta elta dwatuz

21 22 23 24 25 26 27 28 29 2d 2e 30
dwatujeden dwatudwa dwatutrzy dwatucztery dwatupięć dwatusześć dwatusiedem dwatuosiem dwatudziewięć dwatudek dwatuel trzytuz

300 trzystoz
3000 trzytysiącoz
milonoz biolionoz trylionoz

Zostaw komentarz